Пример 1: азидо-тетразольная таутомерия в несимметрично замещенном азидопиримидине, трехпозиционный обмен

Пусть в процессе азидо-тетразольной таутомерии несимметрично замещенный азидопиримидин $C$ может давать два различных тетразола $A$ и $B$:

$$A\rightleftarrows C\rightleftarrows B$$

В случае пренебрежения релаксацией динамическая матрица этого процесса будет выглядеть так:

$$\mathbf{L}=\left(\begin{array}{ccc} -k_{CA} & 0 & k_{AC}\\ 0 & -k_{CB} & k_{BC}\\ k_{CA} & k_{CB} & -k_{AC}-k_{BC} \end{array}\right)$$

где $k_{AC}$, $k_{CA}$, $k_{BC}$, $k_{CB}$ — константы скоростей прямых и обратных реакций ( $C\shortrightarrow A$, $A\shortrightarrow C$, $C\shortrightarrow B$, $B\shortrightarrow C$ соответственно).

В приближении начальной скорости (при разложении в ряд Тейлора до первого порядка) интенсивности пиков в спектре NOESY будут такими:

$$\mathbf{I}\left(\tau\right)\approx\left(\mathbf{1}+\mathbf{L}\tau... ...B}\tau & C_{0}\left(1-\left(k_{AC}+k_{BC}\right)\tau\right) \end{array}\right)$$

где $A_{0}$, $B_{0}$, $C_{0}$ — равновесные концентрации тетразолов $A$, $B$ и азида $C$ соответственно. Введем константы равновесия:
$K_{AC}=A_{0}/C_{0}=k_{AC}/k{}_{CA}$; $K_{BC}=B_{0}/C_{0}=k_{BC}/k{}_{CB}$.
Удобно сделать подстановку:
$k_{AC}=K_{AC}k_{CA}$; $k_{BC}=K_{BC}k_{CB}$; $A_{0}=K_{AC}C{}_{0}$; $B_{0}=K_{BC}C{}_{0}$. Тогда:

$$\mathbf{I}\left(\tau\right)\approx\left(\begin{array}{ccc} K_{AC}... ...}\tau & 1-\left(K_{AC}k_{CA}+K_{BC}k_{CB}\right)\tau \end{array}\right)C{}_{0}$$

Можно пронормировать эту матрицу на сумму интенсивностей всех диагональных пиков и кросс-пиков:

$$C_{0}=\frac{I_{AA}+I_{BB}+I_{CC}+I_{AB}+I_{BA}+I_{AC}+I_{CA}+I_{BC}+I_{CB}}{K_{AC}+K_{BC}+1}$$

где $I_{MN}$ — интегральные интенсивности соответствующих пиков в спектре NOESY, после чего, усредняя интенсивности симметричных кросс-пиков, найти искомые:

$$k_{CA}=\frac{I_{AC}+I_{CA}}{2K_{AC}\tau C_{0}}$$

$$k_{CB}=\frac{I_{BC}+I_{CB}}{2K_{BC}\tau C_{0}}$$

Константы равновесия $K_{AC}$ и $K_{BC}$ лучше всего определить из отдельного одномерного спектра, зарегистрированного при той же температуре, что и спектр NOESY, так как в одномерном спектре пики интегрируются более точно. Однако, если подходящего одномерного спектра нет, а двумерный спектр зарегистрирован с достаточно хорошим качеством, то можно найти константы равновесия и прямо из спектра NOESY:

$$I_{AA}+I_{AB}+I_{AC}:I_{BA}+I_{BB}+I_{BC}:I_{CA}+I_{CB}+I_{CC}=K_{AC}:K_{BC}:1$$

Тогда, опять же с усреднением интенсивностей симметричных кросс-пиков, искомые константы скорости можно будет вычислить так:

$$k_{CA}=\frac{I_{AC}+I_{CA}}{\left(2I_{AA}+I_{AB}+I_{BA}+I_{AC}+I_{CA}\right)\tau}$$

$$k_{CB}=\frac{I_{BC}+I_{CB}}{\left(2I_{BB}+I_{AB}+I_{BA}+I_{BC}+I_{CB}\right)\tau}$$

В приближении начальной скорости нельзя вычислить интенсивность кросс-пиков между сигналами тетразолов $A$ и $B$, так как они не обмениваются между собой непосредственно. Но, если продолжить разложение $\exp\left(\mathbf{L}\tau\right)$ в ряд Тейлора до второго порядка, то можно получить:

$$\begin{multline*} \mathbf{I}\left(\tau\right)\approx\left(\begin{array}{cc} K_{A... ...A}+K_{BC}k_{CB}\right)^{2}}{2}\tau^{2} \end{array}\right)C{}_{0} \end{multline*}$$

и таким образом интенсивность кросс-пиков второго порядка между сигналами непосредственно не обменивающихся между собой тетразолов $A$ и $B$ будет равна:

$$I_{AB}=I_{BA}=\frac{1}{2}C{}_{0}K_{AC}K_{BC}k_{CA}k_{CB}\tau^{2}$$