Вычисление константы скорости вырожденного обмена при отсутствии кросс-релаксации

При отсутствии кросс-релаксации ($R=0$) возможны дальнейшие упрощения:

$$D=\sqrt{\delta^{2}+k^{2}}$$

$$\overline{M}=M_{0}\frac{k}{D}$$

$$\frac{I_{AA}+I_{BB}}{I_{AB}+I_{BA}}=\frac{\left(1+\exp\left\{ -2D\tau\right\} \right)D}{\left(1-\exp\left\{ -2D\tau\right\} \right)k}$$

Частный случай равенства скоростей спин-решеточной релаксации.

В случае равенства скоростей спин-решеточной релаксации в состояниях $A$ и $B$ ( $R_{1}^{A}=R_{1}^{B}=1/T_{1}$, откуда следует $\delta=0$, $D=k$, $\sigma=k+1/T_{1}$, $R_{C}=2k$, $R_{L}=1/T_{1}$, $\overline{M}=M_{0}$), получаем упрощенное выражение:

$$\frac{I_{AA}+I_{BB}}{I_{AB}+I_{BA}}=\frac{1+\exp\left\{ -2k\tau\right\} }{1-\exp\left\{ -2k\tau\right\} }$$

из которого можно найти аналитически:

$$k=\frac{\ln\frac{I_{AA}+I_{BB}+I_{AB}+I_{BA}}{I_{AA}+I_{BB}-I_{AB}-I_{BA}}}{2\tau}$$

Частный случай неравенства скоростей спин-решеточной релаксации.

Если скорости спин-решеточной релаксации существенно различаются ( $R_{1}^{A}\neq R_{1}^{B}$), предлагается действовать следующим образом. Сначала по предыдущему уравнению вычислить приближенное значение $k$, из которого найти начальное приближение для $D$. Затем, сделав подстановку $k=\sqrt{D^{2}-\delta^{2}}$ и использовав указанное начальное приближение, численно решить относительно $D$ следующее уравнение:

$$\frac{I_{AA}+I_{BB}}{I_{AB}+I_{BA}}=\frac{1+\exp\left\{ -2D\tau\r... ...\exp\left\{ -2D\tau\right\} \right)\sqrt{1-\left(\frac{\delta}{D}\right)^{2}}}$$

из которого затем найти точное значение $k$.